Biimplikasi

From the two statements p and q can be formed a compound statement in the form “p if and only if q” which is called biimplication and notated as p ↔ q. biimplication or equivalent means have equal, so that p ↔ q is true if p and q have equal value, another case it is false. Therefore, the table of biimplication  value is as follows.

            Dari dua pernyatan p dan q dapat dibentuk suatu pernyataan majemuk dalam bentuk “p jika dan hanya jika q” yang disebut biimplikasi dan dinotasikan sebagai p ↔ q. Biimplikasi atau ekuivalensi artinya mempunyai nilai sama, sehingga p ↔ q bernilai benar apabila p dan q bernilai sama, dalam hal lainnya bernilai salah. Dengan demikian, tabel kebenaran biimplikasi adalah sebagai berikut:

p	q	p↔q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Definisi : biimplikasi dua pernyataan p dan q, yaitu p ↔ q bernilai benar jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama.

Contoh :

Determine the truth value of the following statements.

Tentukkan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan berikut!

1.      2 + 2 = 4 ↔ 3 + 3 = 8

2.      2 + 3 = 6 ↔ 2 + 4 = 8

Solution/penyelesaian:

1.      2 + 2 = 4 ↔ 3 + 4 = 8

T/B ↔ F/S

Because they do not have equal! Value , so the statement of 2 + 2 = 4 ↔ 3 + 4 = 8 is FALSE.

Karena tidak bernilai sama, maka pernyataan 2 + 2 = 4 ↔ 3 + 4 = 8 bernilai SALAH.

2.      2 + 3 = 6 ↔ 2 + 4 = 8

F/S ↔ F/S

Because they have equal value, so the statement of 2 + 3 = 6 ↔ 2 + 4 = 8 is TRUE.

Karena bernilai sama, maka pernyataan  2 + 3 = 6 ↔ 2 + 4 = 8 bernilai BENAR.

Implikasi

From two statement p and q can be formed a compound statement in the form “if p so q” which is called implication and notated with p→q. To understand the way to determine the truth value of the expression p → q. So firs we observe Ali’s promise to Susi in the following.

            Dari dua pernyataan p dan q dapat dibentuk suatu pernyataan majemuk dalam bentuk “jika p maka q” yang disebut implikasi dan dinotasikan dengan p → q. Untuk memahami cara menentukan nilai kebenaran pernyataan p → q. Maka terlebih dahulu kita memperhatikan janji Ali kepada Susi beikut:

It does not rain → I come to Susi’s home

Hari ini tidak hujan → saya dating kerumah Susi

            Certainly, Ali is considered to break his promise if it is true if it does not rain but Ali does not come to Susi’s home. In another case, Ali I considered not to break his promise. Analogue wih the statement above, so the expression p → q is false if p is truth value and q is falsity value, in another case is truth value. Thereby the table of implication truth is as follows.

Tentunya, Ali dianggap menyalahi janjinya apaila benar hari tidak hujan tetapi Ali tidak benar dating kerumah Susi. Dalam hal lainnya, Ali dianggap tidak menyalahi janji. Analog dengan pernyataan diatas, maka pernyataan p → q benilai salah jika  bernilai benar dan q bernilai salah, dalam hal lainnya bernilai benar. Dengan demikian tabel kebenaran implikasi adalah sebagai berikut:

p	q	p→q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Pernyataan p →q disebut pernyataan implikatif/kondisional.

1.              p → q dibaca : jika p maka q; p hanya  jika q; q jika p atau p berimplikasi q; q asal saja p.

2.              Pernyataan p disebut anteseden/hipotesa/sebab dan q disebut konsekuen/konklusi/akibat.

3.             q  merupakan syarat perlu bagi p; dan p merupakan syarat cukup bagi q.

4.             bermakna bahwa “tidak benar bahwa p terjadi tetapi q tidak tejadi”. Ditulis dengan lambang –(p Ʌ -q)

definisi :  implikasi dua pernyataan p → q bernilai salah hanya jika p bernilai benar disertai q bernilai salah.

         Semua implikasi pasti logis, definisional, empiric, atau intensional. Akan tetapi untuk menarik suatu kesimpulan cukuplah konsekuen benar apabila antesedennya benar, tanpa harus mengetahui apakah hubungan konsekuen dengan anteseden itu bersifat logis, definisional, empirik, atau intensional. Itulah sebabnya hubungan antara konsekuen dan anteseden tidak perlu ikui dipertimbangkan.

Contoh:

Determine of the truth value the compound statements in the following.

Tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk berikut:

1.  If/Jika 2 + 3 = 5, so/maka 4 + 5 = 7.

2.  If/Jika 2 + 2 = 6, so/maka3 + 2 = 5.

Solution/penyelesaian:

1.  2 + 3 =5 → 4 +  5 = 7

T/B → F/S

Because in the form T → F so the statement “if 2 + 3 = 5, so 4 + 5 = 7” is FALSE.

Karena berbentuk B → S maka pernyataan “jika 2 + 3 = 5, maka 4 + 5 = 7” bernilai SALAH.

2.  2 + 2 = 6 → 3 + 2 = 5

F/S → T/B

Because it is not in the form of T → F, so the statement “if 2 + 2 = 6, so 3 + 2 = 5” is TRUE.

Karena tidak berbentuk B→ S, maka pernyataan “jika 2 + 2 = 6, maka 3 + 2 = 5”bernilai BENAR.

Disjungsi

From two statement of p dan q can be formed a compound statement in the form o “p or q” which called disjunction and notated with p V q.

Dari dua pernyataan p dan q dapat dibentuk suatu pernyataan majemuk dalam bentuk “p atau q” yang disebut konjungsi dan dinotasikan dengan p V q.

Perlu diperhatikan bahwa kata “atau tidak selalu sama artinya. Seperti contoh berikut ini : “ Yasir membeli buku tulis atau pensil”.

Disjungsi diatas dapat diartikan sebagai berikut :

·         Yasir tidak hanya membeli salah satu, akan tetapi mungkin membeli kedua-duanya. Artinya, tidak hanya salah satu mesti benar, akan tetapi ungkin jga kedua-duanya benar. Disjungsi seperti ini disebut disjungsi inklusif. Dengan notasi p V q.

Definisi : disjungsi inklusif dua pernyatan p dan q, yaitu p V q bernilai benar jika salah satu atau kedua dari pernyataan p dan q bernilai benar.

TABEL KEBENARAN DISJUNGSI INKLUSIF

p	q	pVq
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

·         Yasir membeli buku tulis tidak hanya membeli pensil, atau tidak membeli buku tulis, tetapi membeli pensil. Artinya, salah satu mesti benar, disebut disjungsi eksklusif, dengan notasi p V ~ q .

Definisi :  disjungsi eksklusif du pernyataan p dan q berniali bena jika salah satu dari pernyataan p da q bernilai benar.

TABEL KEBENARAN DISJUNGSI EKSKLUSIF

p	q	p  V q     ≡     (p V q)         Ʌ              (-p V –q)
B	B	S	B	S	S
B	S	B	B	B	B
S	B	B	B	B	B
S	S	S	S	S	B
		SBBS		SBBS

·         Disjungsi inklusif menyatakan komponen yang lain dapat benar dapat juga salah. Jadi, p V- q berarti p aja, q saja, atau p dan q benar. Disjungsi eksklusif dengan tegas menyatakan anggota yang lain pasti salah. Jadi, p V- q ≡ (p  Ʌ q) V (-p  Ʌ -q).

Contoh :

Determine the truth value of the following compound statement.

Tentukkan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut!

1.      3 prime numbers or 5 even numbers. 3

2.      5 – 2 = 3 or  5 + 3 = 8

3.      7 – 2 = 9 or  7 + 2 = 5

Penyelesaian :

1.    3 prime numbers are TRUE

3 bilangan prima bernilai BENAR

5 even numbers are FALSE.

5 bilangan genap bernilai SALAH.

Because there is true statement, so the compound statement “3 prime numbers or 5 even numbers” is TRUE.

Karena ada yang bernilai benar, maka pernyataan majemuk “3 bilangan prima atau 5 bilangan genap” bernilai BENAR.

2.    5 – 2 = 3 is TRUE / 5- 2 = 3 bernilai BENAR

5 + 3 = 8 is TRUE / 5 + 3 = 8 bernilai BENAR.

Because the both are true it means there is true statement. Thereby the compound statement “5 – 2 = 3 or 5 + 3 = 8” is TRUE.

Karena keduannya bernilai benar berarti ada yang benar. Dengan demikian pernyataan majemuk “5 – 2 = 3 atau 5 + 3 = 8” bernilai BENAR.

3.    7 – 2 = 9 is FALSE / 7 – 2 = 9 bernilai SALAH.

7 + 2 = 5 is FALSE / 7 + 2 = 5 bernilai SALAH.

Because no one is true statement so the compound statement “ 7 – 2 = 9 or 7 + 2 = 5” is FALSE.

Karena tidak ada pernyataan yang bernilai benar maka pernyataan majemuk “7 – 2 = 9 atau 7 + 2 = 5” benilai SALAH 

Konjungsi

A.    KONJUNGSI

            Konjungsi merupakan pernyataan majemuk dengan kata penghubung dan. Dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dalam bentuk p Ʌ qdisebut konjungsi dan dibaca p dan q.

            Pernyataan p Ʌ q disebut juga sebagai pernyataan konjungtif dan masing-masing p serta q disebut komponen (subpernyataan). Kata perekat “dan” seringkali berarti “kemudian, lantas, lalu”. Konjungsi mempunyai sifat simetrik. Jadi, p Ʌ q ≡ q Ʌ p. “ia masuk sekolah, meskipun sakit” tidak brbeda kebenarannya degan “ia sakit, meskipun masuk sekolah”.

Definisi :  konjungsi dua pernyataan p dan q bernilai benar  hanya jika kedua   komponennya bernilai benar benar.

Lambang Ʌ digunakan untuk mendefinisikan irisan dua himpunan

A ∩ B = { x l x ϵ A Ʌ x ϵ B}.

Kata-kata yang membentuk konjungsi selain dan adalah meskipun, tetapi, sedangkan, padahal, sambil, yang, juga, walaupun, dan lain-lain.

TABEL KEBENARAN KONJUNGSI

p	q	p Ʌ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Contoh :

Determine the truth value of the following expression.

Tentukkan nilai kebenaran daripernyataan-pernyataan berikut!

1.      6 prime numbers and 3 odd numbers.

6 bilangan prima dan 3 bilangan ganjil

2.      2 prime umbers and 2 even numbers.

2 bilangan prima dan 2 bilangan genap.

Penyelesaian :

1.      6 prime numbers are FALSE  / 6 bilangan prima bernila SALAH.

3 odd numbers are TRUE /  bilangn ganjil bernilai BENAR.

Because there is FALSE statement s the statement “6 prime numbers and 3 odd numbers” are FALSE

Karena ada yang bernlai SALAH, maka pernyataan “6 bilangan prima dan 3  bilangan ganjil” bernilai SALAH.

2.      2 prime numbers are TRUE / 2 bilanagn prima bernilai BENAR.

2 even umbers are TRUE / 2 bilangan genap bernilai BENAR.

Because there is no are FLSE so the statement  “ 2 prime numbers and 2 even numbers” are TRUE.

Karena tidak ada yang bernilai SALAH maka pernyataan “2 bilanan prima an 2 bilangan genap” bernilai BENAR.