Rumus Identitas dan Persamaan Trigonometri

Selamat Siang...Selamat belajar untuk kita semua :) :)

Yang masih bingung dengan materi Trigonometri, masih kurang referensi atau materi buat belajar, disini bisa kalian Download materi Trigonometri tentang Persamaan Trigonometri dengan rumus identitas. Disini kita juga akan membahas persamaan dan perbedaan identitas trigonometri dengan persamaan trigonometri Disini Aja :)

Ditunggu saran dan masukannya ya, Terima Kasih

Pengertian Modul

       Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia, modul berarti  standar atau satuan pengukur;  satuan standar yang bersama-sama dengan yang lain digunakan secara bersama;  satuan bebas yang merupakan bagian dari struktur keseluruhan; komponen dari suatu sistem yang berdiri sendiri, tetapi menunjang program dari sistem itu;  unit kecil dari satu pelajaran yg dapat beroperasi sendiri;  kegiatan program belajar-mengajar yang dapat dipelajari oleh murid dengan bantuan yang minimal dari guru pembimbing, meliputi perencanaan tujuan yang akan dicapai secara jelas, penyediaan materi pelajaran, alat yang dibutuhkan, serta alat untuk penilai, mengukur keberhasilan murid dalam penyelesaian pelajaran;  urutan studi yang harus diikuti siswa, kecuali mereka yang mempunyai ketidakmampuan belajar yg khusus.           Di dalam realita kehidupan sehari-hari, modul memiliki pengertian yang berbeda-beda tergantung dari beberapa sudut pandang, misalnya dari sudut pandang siswa, modul adalah acuan belajar yang dapat dipelajari siswa sendiri yang disajikan tanpa harus mendengarkan terlebih dahulu penjelasan dari guru. Guru sebagai pengguna modul mengartikan modul sebagai acuan mengajar karena berisi materi yang sudah disusun secara sistematis menyesuaikan silabus yang harus dicapai dalam waktu tertentu. Menurut guru sebagai penyusun modul, modul merupakan wadah kreatifitas guru, karena dalam modul tersebut seorang guru dapat menuangkan ide-idenya ataupun kreatifitasnya dalam menyampaikan suatu materi dan mengevaluasi belajar siswa melalui latihan-latihan soal . Lain pula dengan penyelenggara pendidikan, modul merupakan fasilitas penunjang kegiatan pendidikan yang lebih diutamakan untuk peserta didik suatu lembaga pendidikan. Namun juga tidak menutup kemungkinan digunakan oleh pihak lain atau kalangan umum. Selain itu juga modul dapat menjadi alternatif lain dalam hal menambah pendapatan dan menjadi sesuatu yang bersifat komersil.Beberapa pengertian lain tentang modul adalah sebagai berikut:1.    Modul adalah bahan ajar yang disusun secara sistematis dan menarik yang mencangkup isi materi, metoda, dan evaluasi yang digunakan secara mandiri.
2.    Modul disebut juga media untuk belajar sendiri karena didalamnya telah dilengkapi petunjuk untuk belajar sendiri. Artinya, pembaca dapat melakukan kegiatan belajar tanpa kehadiran pengajar secara langsung. Bahasa, pola dan sifat kelengkapan lainnya yang terdapat dalam modul ini diatur sehingga ia seolah-olah merupakan “bahasa pengajar” atau bahasa guru yang sedang memberikan pengajaran kepada murid-muridnya. Maka dari itulah media ini sering disebut bahan instruksional mandiri. Pengajar tidak secara langsung memberi pelajaran atau mengajarkan sesuatu kepada para murid-muridnya dengan tatap muka, tetapi cukup dengan modul-modul ini. Selain itu, kebahasaanya dibuat sederhana sesuai dengan level berpikir anak-anak (SMK,SMA,SMP) atau input anak-anak tersebut.
3.    Modul adalah unit program pembelajaran yang terencana didesain guna membantu peserta mencapai pelatihan
4.    Modul adalah paket program pembelajaran yang bersifat self contained dan self instruction
5.    Modul adalah materi pelajaran yang disusun dan disajikan secara tertulis sedemikian rupa sehingga pembacanya diharapkan dapat menyerap sendiri materi tersebut.
6.    Modul merupakan alat atau sarana pembelajaran yang berisi materi, metode, batasan-batasan, dan cara mengevaluasi yang dirancang secara sistematis dan menarik untuk mencapai kompetensi/ sub kompetensi yang diharapkan sesuai dengan tingkat kompleksitasnya. (Dikmenjur : 2004 : 2)
7.    Pengertian modul berdasarkan Kamus Besar Bahasa Indonesia online (pusatbahasa.diknas.go.id) adalah komponen dari suatu sistem yang berdiri sendiri, tetapi menunjang program dari sistem itu; unit kecil dari satu pelajaran yang dapat beroperasi sendiri; kegiatan program belajar-mengajar yang dapat dipelajari oleh murid dengan bantuan yang minimal dari guru pembimbing, meliputi perencanaan tujuan yang akan dicapai secara jelas, penyediaan materi pelajaran, alat yang dibutuhkan, serta alat untuk penilai, mengukur keberhasilan murid dalam penyelesaian pelajaran.
8.    Modul juga bisa didefinisikan sebagai uraian terkecil bahan belajar yang akan memandu fasilitator/pelatih menyampaikan bahan belajar dalam proses pembelajaran yang sesuai secara terperinci. Agar praktis dan mudah penggunaannya, modul menurut pedoman ini berisi uraian dari pokok-pokok bahasan sesuai dengan tujuan pembelajaran yang masing-masing dilengkapi dengan metode dan media pembelajaran, petunjuk penugasan, diskusi, kasus, latihan-latihan, dan evaluasinya.
       Dari beberapa pengertian modul tersebut, dapat disimpulkan bahwa modul  adalah bahan ajar yang disusun secara tertulis, sistematis, dan menarik yang berisi materi, metode, batasan-batasan, dan evalusi yang digunakan secara mandiri serta dibuat dalam bahasa yang sederhana sesuai dengan level berpikir anak-anak untuk mencapai kompetensi yang diharapkan sesuai dengan tingkat kompleksitasnya. 

Biimplikasi

From the two statements p and q can be formed a compound statement in the form “p if and only if q” which is called biimplication and notated as p ↔ q. biimplication or equivalent means have equal, so that p ↔ q is true if p and q have equal value, another case it is false. Therefore, the table of biimplication  value is as follows.

            Dari dua pernyatan p dan q dapat dibentuk suatu pernyataan majemuk dalam bentuk “p jika dan hanya jika q” yang disebut biimplikasi dan dinotasikan sebagai p ↔ q. Biimplikasi atau ekuivalensi artinya mempunyai nilai sama, sehingga p ↔ q bernilai benar apabila p dan q bernilai sama, dalam hal lainnya bernilai salah. Dengan demikian, tabel kebenaran biimplikasi adalah sebagai berikut:

p	q	p↔q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Definisi : biimplikasi dua pernyataan p dan q, yaitu p ↔ q bernilai benar jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama.

Contoh :

Determine the truth value of the following statements.

Tentukkan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan berikut!

1.      2 + 2 = 4 ↔ 3 + 3 = 8

2.      2 + 3 = 6 ↔ 2 + 4 = 8

Solution/penyelesaian:

1.      2 + 2 = 4 ↔ 3 + 4 = 8

T/B ↔ F/S

Because they do not have equal! Value , so the statement of 2 + 2 = 4 ↔ 3 + 4 = 8 is FALSE.

Karena tidak bernilai sama, maka pernyataan 2 + 2 = 4 ↔ 3 + 4 = 8 bernilai SALAH.

2.      2 + 3 = 6 ↔ 2 + 4 = 8

F/S ↔ F/S

Because they have equal value, so the statement of 2 + 3 = 6 ↔ 2 + 4 = 8 is TRUE.

Karena bernilai sama, maka pernyataan  2 + 3 = 6 ↔ 2 + 4 = 8 bernilai BENAR.

Implikasi

From two statement p and q can be formed a compound statement in the form “if p so q” which is called implication and notated with p→q. To understand the way to determine the truth value of the expression p → q. So firs we observe Ali’s promise to Susi in the following.

            Dari dua pernyataan p dan q dapat dibentuk suatu pernyataan majemuk dalam bentuk “jika p maka q” yang disebut implikasi dan dinotasikan dengan p → q. Untuk memahami cara menentukan nilai kebenaran pernyataan p → q. Maka terlebih dahulu kita memperhatikan janji Ali kepada Susi beikut:

It does not rain → I come to Susi’s home

Hari ini tidak hujan → saya dating kerumah Susi

            Certainly, Ali is considered to break his promise if it is true if it does not rain but Ali does not come to Susi’s home. In another case, Ali I considered not to break his promise. Analogue wih the statement above, so the expression p → q is false if p is truth value and q is falsity value, in another case is truth value. Thereby the table of implication truth is as follows.

Tentunya, Ali dianggap menyalahi janjinya apaila benar hari tidak hujan tetapi Ali tidak benar dating kerumah Susi. Dalam hal lainnya, Ali dianggap tidak menyalahi janji. Analog dengan pernyataan diatas, maka pernyataan p → q benilai salah jika  bernilai benar dan q bernilai salah, dalam hal lainnya bernilai benar. Dengan demikian tabel kebenaran implikasi adalah sebagai berikut:

p	q	p→q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Pernyataan p →q disebut pernyataan implikatif/kondisional.

1.              p → q dibaca : jika p maka q; p hanya  jika q; q jika p atau p berimplikasi q; q asal saja p.

2.              Pernyataan p disebut anteseden/hipotesa/sebab dan q disebut konsekuen/konklusi/akibat.

3.             q  merupakan syarat perlu bagi p; dan p merupakan syarat cukup bagi q.

4.             bermakna bahwa “tidak benar bahwa p terjadi tetapi q tidak tejadi”. Ditulis dengan lambang –(p Ʌ -q)

definisi :  implikasi dua pernyataan p → q bernilai salah hanya jika p bernilai benar disertai q bernilai salah.

         Semua implikasi pasti logis, definisional, empiric, atau intensional. Akan tetapi untuk menarik suatu kesimpulan cukuplah konsekuen benar apabila antesedennya benar, tanpa harus mengetahui apakah hubungan konsekuen dengan anteseden itu bersifat logis, definisional, empirik, atau intensional. Itulah sebabnya hubungan antara konsekuen dan anteseden tidak perlu ikui dipertimbangkan.

Contoh:

Determine of the truth value the compound statements in the following.

Tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk berikut:

1.  If/Jika 2 + 3 = 5, so/maka 4 + 5 = 7.

2.  If/Jika 2 + 2 = 6, so/maka3 + 2 = 5.

Solution/penyelesaian:

1.  2 + 3 =5 → 4 +  5 = 7

T/B → F/S

Because in the form T → F so the statement “if 2 + 3 = 5, so 4 + 5 = 7” is FALSE.

Karena berbentuk B → S maka pernyataan “jika 2 + 3 = 5, maka 4 + 5 = 7” bernilai SALAH.

2.  2 + 2 = 6 → 3 + 2 = 5

F/S → T/B

Because it is not in the form of T → F, so the statement “if 2 + 2 = 6, so 3 + 2 = 5” is TRUE.

Karena tidak berbentuk B→ S, maka pernyataan “jika 2 + 2 = 6, maka 3 + 2 = 5”bernilai BENAR.

Disjungsi

From two statement of p dan q can be formed a compound statement in the form o “p or q” which called disjunction and notated with p V q.

Dari dua pernyataan p dan q dapat dibentuk suatu pernyataan majemuk dalam bentuk “p atau q” yang disebut konjungsi dan dinotasikan dengan p V q.

Perlu diperhatikan bahwa kata “atau tidak selalu sama artinya. Seperti contoh berikut ini : “ Yasir membeli buku tulis atau pensil”.

Disjungsi diatas dapat diartikan sebagai berikut :

·         Yasir tidak hanya membeli salah satu, akan tetapi mungkin membeli kedua-duanya. Artinya, tidak hanya salah satu mesti benar, akan tetapi ungkin jga kedua-duanya benar. Disjungsi seperti ini disebut disjungsi inklusif. Dengan notasi p V q.

Definisi : disjungsi inklusif dua pernyatan p dan q, yaitu p V q bernilai benar jika salah satu atau kedua dari pernyataan p dan q bernilai benar.

TABEL KEBENARAN DISJUNGSI INKLUSIF

p	q	pVq
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

·         Yasir membeli buku tulis tidak hanya membeli pensil, atau tidak membeli buku tulis, tetapi membeli pensil. Artinya, salah satu mesti benar, disebut disjungsi eksklusif, dengan notasi p V ~ q .

Definisi :  disjungsi eksklusif du pernyataan p dan q berniali bena jika salah satu dari pernyataan p da q bernilai benar.

TABEL KEBENARAN DISJUNGSI EKSKLUSIF

p	q	p  V q     ≡     (p V q)         Ʌ              (-p V –q)
B	B	S	B	S	S
B	S	B	B	B	B
S	B	B	B	B	B
S	S	S	S	S	B
		SBBS		SBBS

·         Disjungsi inklusif menyatakan komponen yang lain dapat benar dapat juga salah. Jadi, p V- q berarti p aja, q saja, atau p dan q benar. Disjungsi eksklusif dengan tegas menyatakan anggota yang lain pasti salah. Jadi, p V- q ≡ (p  Ʌ q) V (-p  Ʌ -q).

Contoh :

Determine the truth value of the following compound statement.

Tentukkan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut!

1.      3 prime numbers or 5 even numbers. 3

2.      5 – 2 = 3 or  5 + 3 = 8

3.      7 – 2 = 9 or  7 + 2 = 5

Penyelesaian :

1.    3 prime numbers are TRUE

3 bilangan prima bernilai BENAR

5 even numbers are FALSE.

5 bilangan genap bernilai SALAH.

Because there is true statement, so the compound statement “3 prime numbers or 5 even numbers” is TRUE.

Karena ada yang bernilai benar, maka pernyataan majemuk “3 bilangan prima atau 5 bilangan genap” bernilai BENAR.

2.    5 – 2 = 3 is TRUE / 5- 2 = 3 bernilai BENAR

5 + 3 = 8 is TRUE / 5 + 3 = 8 bernilai BENAR.

Because the both are true it means there is true statement. Thereby the compound statement “5 – 2 = 3 or 5 + 3 = 8” is TRUE.

Karena keduannya bernilai benar berarti ada yang benar. Dengan demikian pernyataan majemuk “5 – 2 = 3 atau 5 + 3 = 8” bernilai BENAR.

3.    7 – 2 = 9 is FALSE / 7 – 2 = 9 bernilai SALAH.

7 + 2 = 5 is FALSE / 7 + 2 = 5 bernilai SALAH.

Because no one is true statement so the compound statement “ 7 – 2 = 9 or 7 + 2 = 5” is FALSE.

Karena tidak ada pernyataan yang bernilai benar maka pernyataan majemuk “7 – 2 = 9 atau 7 + 2 = 5” benilai SALAH