Bilangan Biner

BILANGAN BINER

A.    PENGERTIAN

            Sistem bilangan biner atau sistem bilangan basis dua adalah sebuah sistem penulisan angka dengan menggunakan dua simbol yaitu 0 dan 1. Sistem bilangan biner modern ditemukan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz pada abad ke-17. Sistem bilangan ini merupakan dasar dari semua sistem bilangan berbasis digital. Dari sistem biner, kita dapat mengkonversikannya ke dalam sistem bilangan oktal atau heksadesimal. Sistem ini juga dapat kita sebut dengan istilah bit atau Binary Digit. Pengleompokkan biner dalam komputer selalu berjumlah 8, dengan istilah byte. (1 byte = 8 bit).

            Pada bilangan biner juga dikenal istilah Most Significant Bit (MSB) dan Least Significant Bit (LSB). Bit paling kiri pada sebuah bilangan biner disebut MSB dan bit paling kanan bertindak sebagai LSB. Berdasarkan jumlah digitnya, bilangan biner dikelompokkan menjadi :

1.      Nibble, terdiri dari 4 bit

2.      Byte, terdiri dari 8 bit

3.      Word, terdiri dari 4 sampai 64 bit. Tipe ini biasa digunakan untuk mewakili suatu karakter (huruf, angka, maupun simbol tertentu)

Dalam pemrosesan karakter dikenal sebuah format baku ASCII (American Standard Code for Information Interchange) yang menggunakan 7 bit untuk merepresentasikan semua karakter, angka maupun tanda atau simbol yang ada. Karena terdiri dari 7 bit biner, maka format ASCII ini hanya mampu menampung sebanyak 2⁷ = 128 karakter. Kode ASCII termasuk kode Alfanumerik.

B.     OPERASI PADA BILANGAN BINER

Dalam bilangan biner dapat dilakukan operasi aritmatika seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Berikut penjelasannya.

1. Penjumlahan Biner

Penjumlahan bilangan biner sama dengan penjumlahan pada bilangan desimal, tetapi hasil penjumlahannya dinyatakan dalam angka 0 dan 1. Dua bilanagan yang akan dijumlahkan disusun secara vertikal dan digit-digit yang mempunyai signifikansi sama ditempatkan pada kolom yang sama. Digit-digit ini kemudian dijumlahkan dan jika jumlahnya lebih besar dari 1, maka ada bilangan yang disimpan. Selanjutnya bilangan yang disimpan tersebut dijumlahkan dengan bilangan di sebelah kirinya. Aturan dasar untuk penjumlahan pada bilangan biner adalah sebagai berikut :

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0, disimpan 1

            Contoh 1 :       _{1   1   1}

0 1 0 1­₂

                                    0 0 1 1_{2 +}

                                    1 0 0 0₂

            Langkah-langkah :

a.       Kita jumlahkan bilangan biner yang berada pada kolom paling kanan yaitu 1 + 1 = 2 (secara umum). Karena pada bilangan biner hanya ada angka 0 dan 1, maka diperoleh 1 + 1 = 0 dan disimpan 1 pada kolom disebelah kirinya (lihat aturan dasar).

b.      Kemudian kita jumlahkan lagi bilangan disebelah kirinya yaitu 0+1=1. Karena kolom ini mempunyai simpanan 1 dari kolom disebelah kanannya, maka pada kolom ini diperoleh 0 + 1 + 1 = 0 dan disimpan 1 pada kolom disebelah kirinya.

c.       Bilangan selanjutnya adalah 1 + 0 = 1. Ada simpanan 1 dari kolom disebelah kanannya, maka diperoleh 1 + 0 + 1 = 0 dan disimpan 1 pada kolom disebelah kirinya.

d.      Kemudian 0 + 0 = 0. Ada simpanan 1 dari kolom disebelah kanannya, maka diperoleh 0 + 0 + 1 = 1.

e.       Maka hasil penjumlahan dari 0 1 0 1­₂ + 0 0 1 1₂ = 1 0 0 0₂

Terkadang hasil penjumlahan bilangan lebih besar dari 2. Jika hal tersebut terjadi maka bilangan dapat disimpan lebih dari satu tempat. Misal 1 + 1 + 1 + 1 = 0 yang disimpan 10.

            Contoh 2 :

                              0001₂ + 0011₂ + 0101₂ + 0111₂ = ………₂

Kolom	1	2	3	4	5
Bilangan yang disimpan	1	0	1,1	0
Bilangan pertama		0	0	0	1
Bilangan kedua		0	0	1	1
Bilangan ketiga		0	1	0	1
Bilangan keempat		0	1	1	1
Hasil	1	0	0	0	0

Keterangan :

Pada kolom ketiga, bilangan yang disimpan ada 2 bilangan. Bilangan tersebut berasal dari hasil penjumlahan pada kolom kelima yang nilai penjumlahannya adalah 100 dan kolom keempat yang nilai penjumlahannya adalah 10. Sedangkan bilangan yang disimpan pada kolom pertama dan kedua merupakan bilangan hasil dari penjumlahan pada kolom ketiga yang nilai penjumlahannya adalah 100. Maka hasil penjumlahan dari 0001₂ + 0011₂ + 0101₂ + 0111₂ = 10000₂.

           

2. Pengurangan Biner

Metode yang digunakan dalam pengurangan bilangan biner juga sama dengan metode yang digunakan untuk pengurangan pada bilangan desimal. Dalam metode ini, jika yang dikurangi lebih kecil dari pengurangnya maka diperlukan pinjaman dari kolom yang mempunyai derajat lebih tinggi atau biasanya berada di seblah kiri. Aturan dasar untuk pengurangan bilangan biner adalah sebagai berikut :

0 – 0 = 0

1 – 0 = 1

1 – 1 = 0

0 – 1 = 1, pinjam 1

            Contoh 3 :          _{0   1}

                                    0 1 0 1₂

                                    0 0 1 1₂ _

                                    0 0 1 0₂

            Langkah-langkah :

a.       Pengurangan pada digit keempat adalah 1 – 1 = 0

b.      Pengurangan pada digit ketiga adalah 0 – 1 = 1 (lihat aturan dasar). Setelah angka 0 dari bilangan pertama meminjam angka 1 pada digit kedua dari bilangan pertama, maka digit kedua bilangan pertama berubah menjadi 0.

c.       Pengurangan pada digit kedua adalah 0 – 0 = 0

d.      Pengurangan pada digit pertama adalah 0 – 0 = 0

                                   

3. Perkalian Biner

Metode yang digunakan dalam perkalian biner juga pada dasarnya sama dengan perkalian desimal. Dalam metode ini, akan terjadi pergeseran ke kanan setiap dikalikan satu bit pengali. Setelah proses perkalian masing-masing selesai maka dilakukan penjumlahan masing-masing kolom bit hasil. Aturan dasar untuk perkalian biner adalah sebagai berikut:

0 x 0 = 0

0 x 1 = 0

1 x 0 = 0

1 x 1 = 1

            Contoh 4 :

                                    1 1 0 1₂

                                    1 0 1 1₂ x

                                    1 1 0 1

                                 1 1 0 1

                              0 0 0 0

                           1 1 0 1          +     

                        1 0 0 0 1 1 1 1₂   

            Langkah-langkah :

a.       Kalikan digit-digit seperti mengalikan digit-digit pada bilangan desimal. Gunakan aturan dasar untuk perkalian bilangan biner .

b.      Setelah selesai mengalikan semua digit, jumlahkan digit-digit hasil perkalian tersebut. Gunakan aturan dasar untuk penjumlahan bilangan biner.

4. Pembagian Biner

Serupa dengan perkalian, pembagian pada bilangan biner juga menggunakan metode yang sama dengan pembagian bilangan desimal. Bit-bit yang dibagi diambil bit per bit dari sebelah kiri. Apabila nilainya lebih dari bit pembagi maka bagilah bit-bit tersebut. Tetapi jika setelah bergeser 1 bit nilainya masih di bawah nilai pembagi maka hasilnya adalah 0. Aturan dasar untuk perkalian biner adalah sebagai berikut:

0 ÷ 0 = 0

0 ÷ 1 = 0

1 ÷ 0 = 0

1 ÷ 1 = 1

Contoh 5:

            Langkah-langkah :

a.       Bagikan digit-digit seperti membagikan digit-digit pada bilangan desimal. Gunakan aturan dasar untuk perkalian bilangan biner .

b.      Setelah selesai membagikan semua digit, kurangkan digit-digit hasil pembagian tersebut. Gunakan aturan dasar untuk pengurangan bilangan biner.

Latihan Soal       

1.      1001₂+0010₂ = …

2.      1000₂-0111₂= …

3.      1010₂ x 101₂= …

4.      110011₂ : 11₂= …