contoh model matematika pada program linier

1.Seorang pedagang khusus menjual produk A dan produk B. Produk A dibeli seharga Rp 2000,- per unit, dijual dengan laba Rp 800,- . Produk B dibeli seharga Rp 4.000,- per unit, dijual dengan laba Rp 600,- . Jika ia mempunyai modal Rp 1.600.000,- dan gudangnya mampu menampung paling banyak 500 unit, maka berapa unit yang mampu dibeli oleh pedagang tersebut agar mencapai keuntugan terbesar?

Solusi:

Misalkan produk A = x dan produk B = y, dapat dinyatakan dalam bentuk tabel:

Karena kapasitas gudang tidak dapat lebih dari 500 unit dan pedagang itu hanya memiliki modal Rp 1.600.000,- maka didapat persamaan:

• x + y <= 500
• 2000x +4000y <= 1.600.000  <=> x + 2y <= 800
• x dan y menyatakan banyaknya produk, sehingga nilainya tidak mungkin negatif maupun pecahan. Jadi, x dan y merupakan bilangan cacah (C). Dengan demikian pertidaksamaannya adalah : x >= 0 , y >= 0 dan x,y anggota bilangan cacah.

Jadi model matematika untuk persoalan diatas adalah: x >= 0 , y>= 0, x + y <= 500, dan x
+ 2y <= 800 untuk x,y anggota C.

2. Sebuah pabrik buku memproduksi buku gambar dan buku tulis. Dalam satu hari pabrik itu paling banyak memproduksi 1000 buku. Dari bagian penjualan diperoleh keterangan bahwa setiap hari terjual tidak lebih dari 800 buku gambar dan 600 buku tulis. Keuntungan setiap buku gambar adalah Rp 1000,00 dan buku tulis adalah Rp 1500,00. Berapakah keuntungan bersih sebesar-besarnya yang dapat diperoleh setiap hari? Berapa banyak buku gambar dan buku tulis yang harus diproduksi setiap hari agar memperoleh keuntungan yang sebesar-besarnya?

Solusi:

Misalkan : buka gambar adalah x , buku tulis adalah y

• fungsi objektif ditentukan dari keterangan keuntungan yang ingin dicapai. Akan dimaksimumkan fungsi objektif : f(x,y)= 1000x + 1500y
• bagian kendala yang harus dipenuhi ditentukan dari keterangan keterbatasan bagian produksi dan bagian penjualan. x >= 0, y >=0, x <= 800, y <= 600, dan x + y <= 1000, dengan x dan y anggota C.
• Grafik himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linier dua variabel x >= 0, y >=0, x <= 800, y <= 600, dan x + y <= 1000, dengan x dan y anggota C ditunjukkan oleh daerah yang diarsir.

Nilai fungsi objektif ƒ(x + y) = 1.000x + 1.500y untuk setiap titik pojok yang diperoleh pada Tabel 2-4.

Berdasarkan perhitungan nilai fungsi objektif yang disajikan dalam Tabel 2-4,dapat disimpulkan fungsi tujuan

ƒ(x,y)= 1.000x + 1.500y mencapai nilai maksimum sebesar 1.300.000 dan maksimum itu dicapai pada titik C (400,600).

Hasil yang diperoleh pada Langkah 4 kemudian ditafsirkan ke dalam masalah program linear semula sebagai berikut.

Dengan kendala-kendala yang ada, produsen buku dalam satu hari dapat memperoleh keuntungan sebesar-besarnya Rp1.300.000,00. Keuntungan sebesar ini dapat dicapai jika dalam satu hari, diproduksi buku gambar sebanyak 400 buah dan buku tulis sebanyak 600 buah.